تحليل التباين في اتجاهين

يهدف هذا النوع من التحليل لنوعين من التأثير (أساسي ومشترك) فالتأثير الأساسي للمتغير المستقل  يقصد به تأثيره على المتغير التابع بصرف النظر عن مستويات المتغير المستقل الثاني، في حين التأثير المشترك للمتغيرين وهو يعرف أيضاً بالتأثير التفاعلي فهو ناتج عن تفاعل المتغيرين المستقلين ويكون هناك تفاعل بينهم حال اختلاف تأثير أي منهم يختلف باختلاف مستويات الآخر.

    لقياس هذا التحليل سنتبع نفس الطريقة في تحليل التباين الأحادي من خلال تقدير التباين في المجتمع بأربع تقديرات معتمدة على أربع مكونات للتباين عبارة عن مجموع المربعات الخاصة بها بتقسيم المجموع الكلي للمربعات إلى كل من تأثير العامل الأول والثاني ـ العاملين ـ  (SSB , SSW) والتفاعلي والتباين داخل المجموعات أي المجموع الكلي إلى SSB , SSW ، مجموع المربعات بين المجموعات لكل من مجموع مربعات المتغير المستقل الأول والثاني ومجموع المربعات للتفاعل بين المتغيرين المستقلين والجدول التالي يبين تفاصيل ذلك مع ملاحظة أن SST = SB2 + SW2 , SB2 = SSA + SSB + SSAB

جدول تحليل التباين بمعيارين مع التفاعل الداخلي Two-Ways Analysis of Variance with internal interaction             مع عدم وجود تفاعل داخلي

 

Source Variance SS d f MS F

العامل الأول A

SSA nA 1 MSA MSA / MSW

العامل الثاني B

SSB nB 1 MSB MSB / MSW
التفاعل بين المتغيرين SSAB (nA 1)(nB 1) MSAB MSAB / MSW
داخل المجموعات SSW nA nB MSW
المجموع SST n 1

 

أو:

مجموع مربعات التباين الكلي يتضمن المركبات الأربع التالية وهي مستقلة فيما بينها وتخضع للتوزيع المعتدل بمتوسط صفر وتباين قدره 1 والمركبات الأربع هي:

1) A مركبة بين الأعمدة      2) B مركبة بين الصفوف    3) B, A مركبة التفاعل بين الأعمدة والصفوف    4) eijk مركبة الخطأ  حيث أن:

i يشير لعدد الصفوف      i = 1 , 2 , 3 , ... , r     و r عدد الصفوف

j يشير لعدد الصفوف      j = 1 , 2 , 3 , ... , c     و c عدد الأعمدة

k يشير لعدد الصفوف    k = 1 , 2 , 3 , ... , n    و n عدد المشاهدات في الخلية

نستخدم تحليل التباين هذا مع الفرضيات الآتية واستخدام اختبار F:

1) تأثير جميع مستويات العامل A  متساوٍ

1) تأثير جميع مستويات العامل B  متساوٍ                                                                           

1) عدم وجود تفاعل بين مستويات العاملين A , B

نستخدم الصيغ الآتية لحسابات تحليل التباين الثنائي مع وجود التفاعل الداخلي:

SSE = SST SSR SSC SS(RC)

مع ملاحظة أن:

SST مجموع المربعات الكلي وهو: تربيع كل درجة خام في كل خلية في الجدول ثم نجمع كل المربعات الناتجة (تربيع كل مشاهدة ثم الجمع) ، N عدد الدرجات أو المشاهدات،

        ثم نعوض في المعادلة أعلاه للحصول على المطلوب.

SSR مجموع مربعات الصفوف وهو: إن كان لدينا مجموعتان للمقارنة مع ثلاث مستويات مثلاً فلكل مجموعة مقارنة ثلاثة أعمدة(عدد المستويات) لدينا ثلاثة مجاميع للأعمدة

        الثلاثة بجمعها نحصل على مجموع الصف للمجموعة الأولى وبالمثل نحصل على مجموع الصف (مجاميع الأعمدة للمجموعة الثانية) وبالتالي يكون لدينا قيمتان مجموع

        الصف الأول للممجوعة الأولى ومجموع الصف الثاني للمجموعة الثانية بتربيع كل منهم وجمع المربعين لنحصل على مجموع مربعات الصفوف (راجع القيم المبينة هنا

        باللون الأحمر  في الجدول هنا مع ملاحظة الجدول هنا لأربع مستويات أي أربع أعمدة في كل مجموعة)، ثم نعوض في المعادلة أعلاه للحصول على المطلوب.

SSC مجموع مربعات الأعمدة لدينا مجموعتان للمقارنة وأربعة مستويات (أنظر الجدول)  يعني وجود 4 2 = 8 أعمدة أربعة لكل مجموعة وبجمع كل مستوى للمجموعتين

        نحصل على مجموع الأعمدة الأربع والمبينة في الجدول بخلفية صفراء اللون في الصف الأخير. فنربع كل منها (4 قيم) ثم نجمع المربعات الناتجة، ثم نعوض في المعادلة

        أعلاه للحصول على المطلوب.

SS(RC)i مجموع مربعات الصفوف والأعمدة وهي 8 مجاميع المبينة في الجدول هنا (باللون الوردي) نربع كل منها ونجمع النواتج، ثم نعوض في المعادلة أعلاه للحصول

             على المطلوب.

SSE في الجدول هنا 8 مجاميع ( المبينة باللون الوردي) نربع كل منه ونجمع النواتج، ثم نعوض في المعادلة مجموع المربعات الكلي المجموع الناتج عدد الدرجات في العمود (للمجموعة الواحدة) هنا يساوي 4 أو من: SSE = SST SSR SSC SS(RC)i

 درجات الحرية لتباين الصفوف = عددها 1

 درجات الحرية لتباين الأعمدة = عددها 1

 درجات الحرية لتباين التفاعل = (عدد الصفوف 1)(عدد الأعمدة 1)

 درجات الحرية لتباين الخطأ = عدد الصفوف عدد الأعمدة (عدد درجات المجموعة الواحدة 1) ، في جدولنا هنا توجد 8 مجاميع كل منها يضم 4 درجات

 

جدول تحليل التباين:

 

مثال:

    في تقيم لمعرفة تأثير كل من المستوى والفترة الزمنية على أداء الطلاب في مادة الرياضيات فجرى اختيار أربع مستويات أخذ من كل منها 8 طلاب نصفهم للفترة الصباحية والنصف الآخر للفترة المسائية وبصورة عشوائية والمطلوب تحليل التباين ذي اتجاهين لمعرفة الإجابة على التأثير المطلوب حيث كانت نتائجهم في الامتحان النهائي مبينة في الجدول الآتي:

Time Levels
L1 L2 L3 L4
A M 60 85 77 80
75 80 85 85
80 79 67 86
67 66 90 77
P M 90 78 88 85
90 59 80 66
88 67 78 67
77 85 77 84

 

الحل:                        الحل باستخدام MINITAB                    حل آخر باستخدام صيغ أخرى

    نقوم هنا بإجراء ثلاثة اختبارات وهي التأثير الأساسي للعامل الأول (المستوى) والثاني للفترة الزمنية والثالث للتأثير التفاعلي كما يلي:

1) التأثير الأساسي للعامل الأول (المستوى) نرمز له بالرمز A وفرضيتي العدم والبديل هما:

    H0 : μA1A2A3A4    , H1 : على الأقل متوسطين غير متساويين

2) التأثير الأساسي للفترة الزمنية ولنرمز له بالرمز B وفرضيتي العدم والبديل هما:

    H0 : μB1B2    , H1 : μB1≠μB2

3) التأثير التفاعلي وهو:

  H0 ليس هناك تأثير تفاعلي بين A , B على المتغير التابع  

  H1 : هناك تأثير تفاعلي بين A , B على المتغير التابع         

    نكون الجدول الآتي:

Time Levels
L1 L2 L3 L4 Total LI2 L22 L32 L42
A M 60 85 77 80 302 3600 7225 5929 6400
75 80 85 85 325 5625 6400 7225 7225
80 79 67 86 312 6400 6241 4489 7396
67 66 90 77 300 4489 4356 8100 5929
∑(AM) 282 310 319 328 1239
P M 90 78 88 85 341 8100 6084 7744 7225
90 59 80 66 295 8100 3481 6400 4356
88 67 78 67 300 7744 4489 6084 4489
77 85 77 84 323 5929 7225 5929 7056
(PM) 345 289 323 302 1259        
Total 627 599 642 630 2498 49987 45501 51900 50076

باستخدام الصيغ:

 

SST = (60)2 +  (75)2 + ... + (67)2 +  (84)2  [(2498)2] / [244]

        = 197464 195000.13

        = 2463.88

SSR = [(1239)2 +  (1259)2] / [16] [(2498)2] / [244]

        = 195012.63 195000.13

        = 12.50

SSC = [(627)2 + (599)2 + (642)2 +  (630)2] / [ 8 ]  [(2498)2] / [244]

        = 195124.250 195000.125

        = 124.13

SS(RC) = [(282)2 +...+ (302)2] / 4 195012.63 195124.250 + 195000.13

              = 195762 195136.75

              = 625.25

 

    SSE = SST SSR SSC SS(RC)                        SSE = 2463.88 12.50 124.13 625.25

       = 1702

من جدول f  نجد أن:

F1 < f0.05 , 1 , 24 = 4.26        و         F2 < f0.05 , 3 , 24 =3.01        و         F3 < f0.05 , 3 , 24 = 3.01

جدول تحليل التباين:

 

Source Variance SS d f MS F F من الجدول

بين الصفوف

12.50 2 1 =1

  S12 = 12.5 / 1 = 12.5

    F1 = 12.5 70.92 = 0.18

4.26

بين الأعمدة

124.13 4 1 = 3

  S22  = 124.13 / 3 = 41.4

    F2 = 41.4 70.92 = 0.58

3.01
التفاعل 625.25 (2 1)(4 1) = 3

  S32 = 625.25 / 3 = 208.42

    F3 = 208.42 70.92 = 2.94

3.01
الخطأ 1702.00 24(4 1) = 24

  S42 = 1702 / 24 = 70.92

 

 
المجموع الكلي 246388 244 1 = 31

 

بناء على قيم F نجد أن:

    1) قيمة F المحتسبة أقل من قيم F الجدولية ( 0.18 < 4.26 ) فنقبل فرضية العدم أي عدم وجود اختلاف

    2) قيمة F المحتسبة أقل من قيم F الجدولية ( 0.58 < 3.01 ) فنقبل فرضية العدم أي عدم وجود اختلاف

    3) قيمة F المحتسبة أقل من قيم F الجدولية ( 2.94 < 3.01 ) فنقبل فرضية العدم أي عدم وجود تفاعل بين العاملين

 


الحل باستخدام برنامج MINITAB للحل كما يلي:

ندخل البيانات في 3 أعمدة، الأول للدرجات في العمود الأول من المستوى الأول إلى الرابع بدء بالدرجات الثمانية للمستوى الأول وللفترتين الصباحية والمسائية

العمود الثاني أمام كل درجة رقم المستوى الخاص بها ولدينا هنا 1 ، 2 ، 3 ، 4

العمود الثالث نعطي الرقم 1 للدرجة الصباحية ، 2 للدرجة المسائية  ومن ثم نتبع الخطوات المبينة بالشكل الآتي:

 


 

جدول تحليل التباين بمعيارين مع عدم وجود تفاعل داخلي  Two-Ways Analysis of Variance without internal interaction

    المقصود بعدم وجود تفاعل بين المتغيرين (معياري التصنيف) هو لا يتفاعلان ببقاء تأثير الأعمدة (r) هو نفسه لكل نوع أو صنف والصيغ المستخدمة هنا هي:

والصيغ المستخدمة هي:

SSE = SST SSR SSC

 

Source Variance SS d f MS F

بين الصفوف

SSR r 1 S12 =SSR / (r 1) F1 = S12 / S32

بين الأعمدة

SSC c 1 S22 =SSC / (c 1) F2 = S22 / S32
الخطأ SSE (r 1)(c 1) S32 =SSE / (r 1)(c 1)  
المجموع SST r c 1

مثال:

    من أجل تحسين إنتاج مدرس الرياضيات في استخدام العمليات الحسابية قامت أحدى المدارس بإجراء تجربة لمعرفة تأثير ثلاثة طرق من التدريس أ استخدام الآلة الحاسبة ، ب استخدام الحاسب الآلي ، حـ استخدام القوانين وقدمت أربعة أنواع من الحوافز المادي ، المعنوي ، العقاب ، الثواب. اختبر وجود فروق جوهرية بين متوسطات الإنتاج للمدرس وكذلك بين متوسطات الإنتاج واختلاف نوع الحافز عند مستوى معنوية 0.05 من خلال جدول الإنتاج للمدرسين مع الحوافز الآتي:

الحوافز الآلة الحاسبة الحاسب الآلي القوانين
مادي 60 75 70
معنوي 69 80 60
عقاب 75 77 55
ثواب 58 69 57

الحل:                                  الحل باستخدام SPSS

    نستكمل الجدول بإيجاد مجموع البيانات كالتالي:

الحوافز الآلة الحاسبة الحاسب الآلي القوانين Total
مادي 60 75 70 205
معنوي 69 80 60 209
عقاب 75 77 55 207
ثواب 58 69 57 184
Total 262 301 242 805

 الفرضيات:

(1) انعدام تأثيرات الصف    H0 : a1 = a2 = a3 = a4 = 0

      انعدام تأثيرات العمود    H0 : b1 = b2 = b3 = 0  

(2) على اقل أحداها لا يساوي الصفر : H0

      على اقل أحداها لا يساوي الصفر : H1

بتطبيق الصيغ الآتية:

 

SST = [(60)2 +  (69)2 +...+  (55)2 +  (57)2] (805)2 / 43

        = 54839 (805)2 / 43

        = 54839 54002.08

        = 836.92

SSR = [(205)2 +  (209)2 + (207)2 +  (184)2] / 3 (805)2 / 43

        = 54137 54002.08

        = 134.92

SSC = [(262)2 +  (301)2 + (242)2] / 4 (805)2 / 43

        = 54452.25 54002.08

        = 450.17

    SSE = SST SSR SSC         SSE = 836.92 134.92 450.17

        = 251.83

       وجدول تحليل التباين هو:

Source Variance SS d f MS F

بين الصفوف

134.92 4 1 = 3 S12 =134.92/ 3 = 44.97 F1 = 44.97 / 41.97 = 1.071

بين الأعمدة

450.17 3 1 = 2 S22 =450.17 / 2 = 225.08 F2 = 225.08 / 41.97 = 5.36
الخطأ 251.83 (4 1)(3 1) = 6 S32 =251.83 / 6 = 41.97  
المجموع 836.92 4 3 1 = 11

عند مستوى معنوية  α = 0.05 نجد أن:

F1 < f0.05 , 3 , 6 = 4.76    قبول الفرضية الصفرية أي لا يوجد اختلاف في متوسط إنتاجية المدرسين عندما تختلف الحوافز

F2 > f0.05 , 2 , 6 = 5.14     عدم قبول الفرضية الصفرية أي يوجد اختلاف في متوسط إنتاجية المدرسين عندما تختلف الحوافز


الحل باستخدام SPSS

    نتبع الخطوات المبينة بالشكل الآتي: