التوزيع الإحصائي الطبيعي

كافة الملاحظات المذكورة هي خارج الحل وللتوضيح بدل من ذكر أمثلة أخرى

 

              مثال(2)            مثال(3)            مثال(4)            مثال(5)            مثال(6)            مثال(7)            مثال(8)            مثال(9)         مثال(10)

مثال(1):

    احسب المساحة المحصورة بين i– 2.14 , 1.54والواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي والمبينة بالشكل المرفق.

الحـل:

    نعلم أن العدد i1.54يقابله في جدول Z قيمة المساحة الواقعة يساره وكذلك العدد i– 2.14 تقابله مساحة في جدول Z والفرق بين المساحتين يعطينا المساحة المطلوبة.

مع ملاحظة حسابنا للقيمة السالبة بموجبها مطروح من الواحد الصحيح.

العدد المساحة
1.54 0.9382
– 2.14 1 – 0.9838 = 0.0162

 

 المساحة المطلوبة = i0.9382 – 0.0162

                         = i0.9220

أو بجمع القيم الجدولية للقيمتين مباشرة بحذف 0.5 من قيمها الجدولية أي

 المساحة المطلوبة = i0.4382 + 0.4838

                         = i0.9220

تنويه: جدول z يقرأ المساحة على يسار العدد وعليه نقول

    المساحة على يمين العدد 1.54 = 1 – 0.9832 = 0.0168

    المساحة على يمين العدد صفر هي 0.5

مثال(2):

    احسب المساحة بين Z = – 1.5  ,  Z = – 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار –0.43 مطروحاً منها المساحة على يسار –1.5

                        = (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

                        = 0.3336 – 0.0668

                        = 0.2668

أو

P(– 0.43 > Z > – 1.5)= [1– P(Z < 0.43)] – [1 – P(Z < 1.5)]

                                  = (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

                                  = 0.3336 – 0.0668

                                  = 0.2668

مثال(3):

      احسب المساحة بين Z = 1.5  ,  Z = 0.43

الحـل:

    المساحة المطلوبة = المساحة على يسار1.5 مطروحاً منها المساحة على يسار0.43

                        = 0.9332 – 0.6664

                        = 0.2668

أو

P( 0.43 < Z < 1.5)= P(Z < 1.5) – P(Z < 0.43)

                                  = 0.9332 – 0.6664

                                  = 0.2668

 

 

مثال(4):

    إذا كانت مجموعة مكونة من 400 عضو في نادي تتوزع توزيعاً طبيعياً في العمر بمعدل 40 سنة بانحراف معياري قدره 5 فاحسب:

        1) عدد الأعضاء الذين أعمارهم بين 35 إلى 45 سنة.

        2) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 50

        3) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45

الحـل:

1) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 35:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 35 – 40) ÷ 5 = – 1

    القيمة الجدولية المقابلة للعدد  – 1 (المساحة ) هي 1– 0.8413 = 0.1587   

            " لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.1587 × 400 ≈ 64 "

            " لاحظ أن العدد 0.1587 هو احتمال عمر العضو أقل من 35 سنة "

            " لاحظ مساحة المنطقة الصفراء A = 0.5 – 0.1587 = 0.3413 "

    نحسب قيمة Z من القانون للعمر 45:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 45 – 40) ÷ 5 = 1

    القيمة الجدولية المقابلة للعدد 1(المساحة ) هي 0.8413                        

    ويمكن حسابها من –1 السابقة وهي 1 – 0.1587 = 0.8413

            " لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.8413 × 400 ≈ 337 "

            " لاحظ أن العدد 0.8413 هو احتمال عمر العضو أقل من 45 سنة "

           

            " لاحظ  مساحة المنطقة الصفراء B = 0.8413 – 0.5 = 0.3413 "   

الفرق بين المساحتين = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 أو مجموعهم كما مبين بالشكل

المطلوب = 0.6826 × 400 ≈ 273 عضو 

            " من الملاحظتين أعلاه عدد الأعضاء = 337 – 64 = 273 "

 

2) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 50:

 

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 50 – 40) ÷ 5 = 2

 

  القيمة الجدولية المقابلة للعدد 2 ( المساحة) هي 0.9772على يسار القيمة 2

 

فيكون عدد الذين تقل أعمارهم عن 50 = 0.9772 × 400 ≈ 381 عضو

 

لاحظ:

 الذين يزيد أعمارهم عن 50 = (1 – 0.9772) × 400 = 0.0228 × 400 ≈ 9

 

 

3) الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45 هم خارج الفترة العمرية للمطلوب 1)

 

    والمبينة بالشكل المقابل باللون الأزرق وهي تمثل 1 مطروحاً منه المساحة 0.6826 أي:

 

    المساحة = 1– 0.6826

 

                = 0.3174

 

    عدد الأعضاء = 0.3174 × 400

 

                      ≈ 127

وتمثلهم المساحة المبينة باللون الأزرق ـ أنظر الشكل المقابل ـ

 

مثال(5):

    احسب قيمة العلامة الزائية للمئين 85

الحـل:

    المئين 85 تمثله 0.85 من المساحة تحت منحى التوزيع الطبيعي

    من جدول Z نبحث في عمود المساحة عن القيمة 0.8500 فنجد القيمة 0.8504 وهي أقرب إلى 0.8500 من 0.8485 يقابلها في عمود Z القيمة 1.04

 

لاحظ:

    للحصول على Z من الجدول يجب معرفة قيمة النسبة (المساحة تحت المنحنى الطبيعي) سواء كان لجزء من المائة (المئين) أو لنسبة مئوية 15% مثلاً سواء كانت أكثر أو أقل أو يساوي وبالتالي نبحث في جدول Z عن الكسر العشري 0.15 مثلاً  ومنها نعرف قيمة Z من الجدول مباشرة للمفهوم يساوي أو أقل من، ولكن حال ذكر أكبر من 15% أي على يمين العدد وجدول Z يعطي قيم المساحة على يسار العدد (أقل من) فنبحث عن 85% التي تمثل يسار Z أو أقل من 85% المقابلة إلى 100% – 15%  = 85%

مثال(6):

    ما العلامة التائية للعلامة الزائية للعلامة 75 وكذلك احسب العلامة الزائية للعلامة التائية 800

الحـل:

    العلاقة الرياضية التي تربط العلامتان الزائية والتائية هي:

T = 10Z + 50    → (1)

يمكن صياغتها بالصورة الآتية:

Z = (T – 50) ÷ 10    → (2)

بالتعويض في (1) عن 75

T = 10Z + 50    → (1)

    = 10×75 + 50

    = 800

نعوض في (2) عن 800

Z = (T – 50) ÷ 10    → (2)

    = (800 – 50) ÷ 10

    = 750 ÷10

    = 75

لاحظ: في حالة إعطاء علامات زائية وتائية وطَُلب ترتيبها فيجب تحويل الزائية إلى تائية أو العكس

        2) هناك علامة معيارية أخرى تعرف بدرجة SATت(Scholastic Aptitude Test) بوسط حسابي i500 وانحراف معياري i100حيث:

SAT = 100Z + 500

مثال(7):

    متوسط بيانات مجتمع 85 وانحرافه المعياري 20 فما قيمة الدرجة التائية التي تقابل العلامة 140.

الحـل:

    العلاقة الرياضة المطلوبة لحساب Z هي:

Z = (X – μ) ÷ σ

    = (140 – 85) ÷ 20

    = 55 ÷ 20

    = 2.75

نحول العلامة Z إلى علامة تائية من العلاقة الرياضية:

T = 10Z + 50

    = 10×2.75 + 50

    = 77.5

لاحظ : في حالة عدم معرفة الانحراف المعياري والوسط نعتمد الوسيط والمدى لحساب Z من العلاقة الرياضية:

         الدرجة المعيارية Z = (الدرجة الخام – الوسيط) ÷ المدى الربيعي

مثال(8):

    اختير طالب عشوائياً من مجتمع نسبة ذكاء أفراده تتبع توزيع طبيعي وبمتوسط حسابي 80 وانحراف معياري 10 فأوجد:

    1) احتمال أن تقل نسبة ذكاء الطالب المختار عن 90

    2) احتمال أن تزيد نسبة ذكاء الطالب المختار عن 105

    3) احتمال أن تتراوح نسبة ذكائه بين 90 ، 105

    4) وضح ذلك بيانياً (المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي).

الحـل:

    1) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 90

Z = (X – μ) ÷ σ

    = (90 – 80) ÷ 10

    = 1

        من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.8413 وهو الاحتمال المطلوب

    2) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 105

Z = (X – μ) ÷ σ

    = (105 – 80) ÷ 10

    = 2.5

        من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.9938

        وحيث المطلوب أن تزيد نسبة الذكاء فيكون الاحتمال المطلوب = 1 – 0.9938 = 0.0062

    3) الاحتمال المطلوب = احتمال أقل من 105 مطروحاً منه احتمال أقل من 90 أي:

P( 90 < X < 105 ) = P( X < 105 ) – P( X < 90 )

                             = P( Z < 2.5 ) – P( Z < 1 )

                             = 0.9938 – 0.8413

                             = 0.1525

4) مبين بالشكل، لاحظ مجموع الاحتمالات الثلاثة يساوي الواحد الصحيح.

مثال(9):

    رتب العلامات التالية ترتيباً تنازلياً:

        علامة تائية i80 ، وعلامة زائية i3.2 ، ورتبة مئينية i70% ، وعلامة SATاi600

الحـل:

    نحول العلامات إلى الزائية:

             العلامة التائية 80 :

  T = 10Z + 50  

80 = 10Z + 50

Z = 3            

            الرتبة المئينية 70%:

                    من جدول Z أمام المساحة 0.7000 نجد:

 Z = 0.85         

            علامة SATا4:

SAT = 100Z + 500    

600 = 100Z + 500     

Z = (600 – 500) ÷ 100

Z = 1              

        الترتيب:

                     i 0.85 , 1 , 3 , 3.2

مثال(10):

    برهن على أنَّ مجموع مربعات العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع يساوي عدد هذه المفردات (n) وللعينة عدد مفرداتها مطروحاً منه الواحد الصحيح (n–1).

الحـل:

    مجموع مربعات علامات زائية لقيم مفردات مجتمعي يساوي عدد المفردات

 بالنسبة للمجتمع يكون المجموع يساوي n وللعينة n –1 وهنا برهان ذلك للمجتمع وللعينة نكتفي باستبدال n بـ n –1

لتكن لدينا مجموعة من القيم:

Xi , i = 1, 2, 3, ..., n

وسطها الحسابي يحتسب من العلاقة الرياضية:

          ∑Xi

`X = ——

            n

مجموع فروق القيم عن وسطها = صفر

∑(Xi –`X ) = 0

التباين S2  يحسب من العلاقة الرياضية التالية:

        ∑(Xi –`X )2

S2 = —————    → (1)

                n

 

الانحراف المعياري σ يساوي الجذر ألتربيعي للتباين

نحسب قيمة العلامة الزائية من العلاقة الرياضية:

 

        (Xi –`X )

Z = —————          

             S

 

 

نربع طرفي المعادلة السابقة فنحصل على:

 

        (Xi –`X )2

Z2 = —————          

             S2

 

نجمع طرفي المعادلة:

 

              ∑(Xi –`X )2

∑Z2 = ——————

                     S2

 

نعوض عن قيمة S2 من (1)

              ∑(Xi –`X )2

∑Z2 = —————— × n

              ∑(Xi –`X )2

        = n

فمثلاً : مجموع مربعات 6 علامات زائية هو 6 للمجتمع ، 5 للعينة

لاحظ أنَّ:  مجموع العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع (أو عينة) يساوي صفر