الاختبار الأحادي

الاستدلال عن متوسط مجتمع                   الاستدلال عن النسبة في المجتمع                     اختبار تباين مجتمع

    يهدف الاختبار لمعرفة وجود فرق جوهري بين متوسط العينة ومتوسط المجتمع ويشمل حالة معلومة تباين المجتمع ، مجهولة التباين

حالة معلومة تباين المجتمع σ² ( معلومية الانحراف المعياري)

    وهي الحالة التي نعتبر فيها فرضية العدم بتساوي متوسطي العينة والمجتمع في مقابل عدم تساويهم للفرضية البديلة حيث أن:

(1) المجتمع طبيعي أو حجم العينة كبير

(2) المعلمة محل الاختبار هي متوسط المجتمع μ

(3) تقدير النقطة للمعلمة هو متوسط العينة X`

                         ـــــ

(3) الخطأ المعياري SE = σ ÷ Ö n

(4) حساب قيمة Z من الصيغة الرياضية التالية ومقارنتها مع مع Z الجدولية عند مستوى المعنوية المطلوب.

استخدم جدول Z بالضغط هنا            استخدم جدول T بالضغط هنا

مثال (1):

    أجرى اختبار شفوي لتحديد مستوى 25 طالب في العمليات الحسابية فيما كان المتوسط يقل عن 30 درجة فكانت نتائج الطلاب هي:

23    33    37    38    34    29    24    26    37    31    35    40    20   24    35    37       

أختبر الفرضية (المتوسط  يساوي 30 أو يختلف عنه ) باعتبار أن البيانات تتبع توزيع طبيعي بانحراف معياري 3 وعند مستوى معنوية 5%

الحــل:

    H₀ : m = 30الفرضية الصفرية  

الفرضية البديلة      H₁ : m ¹ 30

بحساب الوسط الحسابي نجده 512 ÷ 16 = 32

بتطبيق الصيغة الرياضية السابقة لحساب Z

     32 – 30

= ــــــــــــــــــ   

     5 / 4

= 1.60

< 1.96

 لا يمكن رفض الفرضية الصفرية بمعنى عدم وجود اختلاف جوهري بين متوسط العينة ومتوسط المجتمع

مثال آخر:

    اختيرت عينة مكونة من 64 فطيرة من مطعم وكان متوسط  الوزن لها 60 جرام بانحراف معياري 5 ويزعم صاحب المطعم أن متوسطه وزن الفطيرة التي يبيعها 62 جرام. بين إن كان قول صاحب المطعم مقبول عند مستوى معنوية 1%

الحـــل:

     62 – 60

= ــــــــــــــــــ   

     5 / 8

= 3.2

> 2.58

نرفض قول صاحب المطعم بمستوى معنوية 1%

حالة عدم معلومة تباين المجتمع σ² ( عدم معلومية الانحراف المعياري)

    وهي الحالة الغالبة حيث نأخذ التقدير من نتائج العينة وباستخدام الإحصاءة T بدلاً من Z مع درجات حرية n – 1 وتكون الصيغة الرياضية المستخدمة هي:

مثال:

    أخذت عينة عشوائية لأربع وحدات 36 ، 45 ، 50 ، 81 من مجتمع طبيعي باعتقاد أن متوسطه 70 وانحرافه المعياري غير معروف. هل متوسط العينة يختلف معنوياً عن متوسط المجتمع بمستوى معنوية 5%؟

الحـــل:

الحــل:

    H₀ : m = 70الفرضية الصفرية  

الفرضية البديلة       H₁ : m ¹ 70

الاختبار ذو جانبين ( عدم التساوي) ، درجات الحرية 3 ويكون:

t_{0.05/2 ,3} = 3.182

بحساب الوسط الحسابي نجده ( 36 + 45 + 50 + 81 ) ÷ 4 = 53

وبحساب S من القانون:

          = [ (36 – 53)² + (45 – 53)² +(50 – 53)² +(81 – 53)² ] / 3

          = [ 289 + 64 + 9 + 784 ] / 3

          = 382

       S = 19.55

بتطبيق الصيغة الرياضية السابقة لحساب Z

       = ( 53 – 70 ) ÷ ( 19.55 / 2 )

       = – 1.74

ومن حيث قيمة t المحتسبة أقل من 3.181 أو أكبر من – 3.182 فلا داعي لرفض الفرضية الصفرية ونقبل بعدم وجود فرق معنوي بين متوسطي المجتمع والعينة.

الحل باستخدام SPSS

مثال:

     أخذت عينة عشوائية مكونة من 100 مراجع لمستشفى ما واستفسر منهم عن عدد المراجعات للمستشفى خلال السنتين الماضيتين فتبن أن المتوسط هو 6 بانحراف معياري 3.5 في حين أن إدارة المستشفى تدعي بأن مراجعة كل شخص لا تقل في المتوسط عن 5 مراجعات خلال نفس الفترة المذكورة عند مستوى معنوية 1%.

بين مدى صحة ادعاء إدارة المستشفى.

الفرضية هنا من جانب واحد وهي:

    H₀ : m ³ 5الفرضية الصفرية  

الفرضية البديلة       H₁ : m < 5

قيمة Z من الجدول عند 0.01 هي 2.32 وبتطبيق الصيغة الرياضية التالية لحساب Z

      = ( 6 – 5 ) / ( 3.5/10)

      = 10 / 3.5

      = 2.88

وحيث أن قيمة Z المحسوبة ( 2.88 ) أكبر من قيمة Z الجدولية فنرفض إدعاء إدارة المستشفى.