القطوع المخروطية (ملخص)

القطـع الناقص

نشأته وإيجاد معادلته ( البـرهـان )

  

 

            هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتاً . وتعرف النقطتان الثابتتان بأنهما بؤرتي القطع الناقص، والقطع الناقص أما أن يكون مركزه نقطة الأصل (0،0) أو أي نقطة في المستوى (د ، هـ ) بنقل المحاور إليها وللقطع الناقص محورين(أساسي وثانوي أو أكبر وأصغر) ورأسيين ومركز والجدولين الآتيين ملخص عن القطع الناقص

 

( 0 ، 0 ) نقطة الأصل

المركز

 

المعادلة القياسية للقطع

يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب )

يقع على المحور السيني ( طوله = 2 أ )

المحور الأكبر

(0 ، - حـ)

(0 ، حـ)

(- حـ ، 0)

( حـ ، 0 )

البؤرتان

(0 ، - أ )

(0 ، أ  )

(- أ ، 0 )

( أ ، 0 )

الرأسان

محور الصادات( س = 0 ) ، محور السينات( ص = 0 )

محور التناظر

 

( د ، هـ ) أي نقطة في المستوى

المركز

المعادلة القياسية للقطع

يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب )

يقع على المحور السيني(طوله = 2 أ )

المحور الأكبر

( د ، هـ - حـ)

( د ، هـ + حـ)

(د - حـ ، هـ)

(د + حـ ، هـ)

البؤرتان

( د ، هـ - أ )

( د ، هـ + أ )

( د - أ ، هـ )

( د + أ ، هـ )

الرأسان

س = د (موازي محور الصادات) ، ص = هـ (موازي محور السينات)

محور التناظر

 

            بعد التقديم السابق يجب الاهتمام بالجدول مع أن الجدول الثاني ناتج من الجدول الأول بنقل للنقطة (د ، هـ) لرأس المنحنى فالعملية هي عملية جمع ، لاحظ البؤرة في الجدول الأول (0 ، أ) أضف (د ، هـ) تنتج البؤرة (د ، هـ + أ) المناظرة في الجدول الثاني وكذلك الرأس في الأول ( أ  ، 0 ) فأضف ( د ، هـ ) ينتج ( د + أ ، هـ ) المناظر له في الجدول الثاني وقس على ذلك مع أن هذا ليس علماً بقدر ما هو تسهيلاً إجراء عمل ما

ومعادلة القطع الناقص في الجدول الثاني تؤول إلى الصورة  ل س2 + ك ص2 + ن س + ى ص + م = 0 حيث ل ك > 0  أي ل ، ك لهما نفس الإشارة وهي المعادلة العامة للقطع الناقص ويجب استخدام إكمال المربع أو أي طريقة أخرى لوضعها بإحدى الصور السابقة لمعرفة أ ، ب ومنها حـ حيث ا2 = ب2 + حـ2

إن النسبة حـ : أ  تسمى الاختلاف المركزي للقطع الناقص ويرمز لها بالرمز e حيث 0 < e < 1

الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص ، فإذا كان e  = 0 فإن حـ = 0 ومن ا2 = ب2 + حـ2 تكون أ = ب فيصبح القطع الناقص دائرة

 

مثال : المعادلة 4 س2 + 9 ص2 + 16 س – 18 ص - 11 = 0

 س2 + 16 س + 9 ص2 – 18 ص – 11 = 0        بترتيب الرموز

4(س2 + 4 س) + 9( ص2 – 2 ص) – 11 = 0       العامل المشترك

4(س2 + 4 س + 4 - 4) + 9( ص2 – 2 ص +1 - 1) – 11 = 0 إضافة مربع نصف معاملي س ، ص

4(س2 + 4 س + 4) - 16 + 9( ص2 – 2 ص +1) - 9 – 11 = 0           إكمال المربع والتبسيط           

 
4(س + 2)2 + 9(ص – 1)2 = 36    بالقسمة على 36

 

9 > 4 ، 9 مقام س ... فالمحور الأكبر موازي محور السينات

الرأس ( -2 ، 1)

أ2 = 9 ومنها أ = 3 ، ب2 = 4 ومنها ب = 2

أ2 = ب2 + حـ2 فإن 9=4+حـ2 ومنها حـ =(5) ½

البؤرتان هما ((5)½ - 2 ، 1 ) ، ( - (5)½ - 2 ، 1 )

الرأسان هما ( 3 – 2 ، 1 ) ، ( - 3 –2 ، 1 ) أي ( 1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 )

محوري التناظر هما س = - 2 ، ص = 1  لاحظ هما إحداثيتي المركز

طرفا المحور الأصغر(المرافق) ( -2 ، 3 ) ، ( -2 ، -1 ) وطوله = 2ب = 2×2=4

طرفا المحور الأكبر(الأساسي ) (1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 ) وطوله = 2 أ = 2×3=6

مع تمنياتي بالتوفيق وملاحظاتكم تطوير للموجود ...................... محمد شكري الجماصي