السؤال
أوجد معادلات المماسات المرسومة من النقطة (3 ، 0) للدائرة: (س + 2)2 + ص2 = 9
الحـل (هندسياً)
يمكن معرفة مركز الدائرة بوضعها بالصورة:
( س – (–2))2 + ( ص – 0)2 = (3)2
بمقارنتها بمعادلة الدائرة التي مركزها ( د ، هـ) ونصف قطرها نق.
( س – د)2 + (ص – هـ)2 = نق2
المركز(–2، 0) ونصف القطر نق = 3 أو بأي طريقة أخرى لاحظ الشكل
م ى = 3 + 2 = 5 والمثلث حـ م د قائم في د لأن م د عمودي على حـ د
ومن فيثاغورث والمثلث حـ م د نجد أن حـ د = 4 "(حـ د)2= 25– 9 = 16"
ميل المماس حـ د = طاى = 3 ÷ 4 = 0.75
وميل المماس حـ ب = طاى1 = –0.75 لاحظ ى1 زاوية منفرجة
معادلة المماس حـ د هي:
ص – ص1 = م ( س – س1)
ص – 0 = 0.75( س –3) المار بالنقطة ( 3 ، 0) ، ميله 0.75 وبالضرب × 4 نحصل على:
4 ص = 3 ( س – 3)
3 س – 4 ص – 9 = 0
بالمثل نجد أن معادلة المماس حـ ب هي: ص – 0 = –0.75( س – 3) بالضرب × 4 نحصل على:
4 ص = – 3( س – 3) أي 4 ص = – 3 س + 9
3 س + 4 ص – 9 = 0
حـل آخــر
بمعرفة إحداثي نقطتي التماس د ، ب واستخدام المعادلة العامة للمماس
نعين إحداثيات النقط د ، ب
طول العمود النازل من د على حـ م ( د ر) = 4 × 3 ÷ 5 = 2.4 لأن مساحة المثلث (حـ م د) ثابتة أو نتائج فيثاغورث
ومن فيثاغورث والمثلث ر م د نجد أن:
(م ر)2 = (م د)2 – (و د)2 = 9 – 5.76 = 3.24
م ر = 1.8 ومنه و ر = 2– 1.8=0.2
وعليه تكون النقطة د ( –0.2، –2.4) وبالمثل ب( – 0.2 ، 2.4)
معادلة المماس حـ د للدائرة (س + 2)2 + ص2 = 9 أي: س2 + ص2 + 4 س – 5 = 0 هنا ل = 2 ، ك = 0 ، حـ = – 5
س س1 + ص ص1 + ل( س + س1) + ك( ص + ص1) + حـ = 0 ..... (1) ل ، ك إحداثيات المركز بإشارة مخالفة
س × – 0.2 + ص × – 2.4 + 2( س – 0.2) + صفر – 5 = 0 بالضرب × 10
– 2س – 24 ص + 20 س – 4 – 50 = 0
18 س – 24 ص – 54 = 0 بالقسمة على 6
3 س – 4 ص – 9 = 0
ومعادلة المماس حـ ب للدائرة عند النقطة ب( – 0.2 ، 2.4) هي:
س س1 + ص ص1 + ل( س + س1) + ك( ص + ص1) + حـ = 0 ..... (1)
س × – 0.2 + ص × 2.4 + 2( س – 0.2) + صفر – 5 = 0 بالضرب × 10
– 2س + 24 ص + 20 س – 4 – 50 = 0
18 س + 24 ص – 54 = 0 بالقسمة على 6
3 س + 4 ص – 9 = 0
كما يمكن الحصول على معادلة حـ د من قانون المستقيم الواصل بين النقطتين (3 ، 0) ، ( – 0.2 ، – 2.4) بعد إيجاد إحداثيات د كما سبق
الميل م = ( ص2 – ص1) ÷ ( س2 – س1) = ( 0 + 2.4) ÷ ( 3 + 0.2) = 2.4 ÷ 3.2 = 3 ÷ 4 = 0.75
ص – ص1 = م ( س – س1)
ص – 0 = 0.75( س –3) وبالضرب × 4 نحصل على:
4 ص = 3 ( س – 3)
3 س – 4 ص – 9 = 0
بالمثل نحصل على معادلة حـ ب الواصل بين النقطتين (3 ، 0) ، ( – 0.2 ، 2.4) بعد إيجاد إحداثيات ب كما سبق
الميل م = ( ص2 – ص1) ÷ ( س2 – س1) = ( 0 – 2.4) ÷ ( 3 + 0.2) = –2.4 ÷ 3.2 = –3 ÷ 4 = – 0.75
ص – ص1 = م ( س – س1)
ص – 0 = – 0.75( س –3) وبالضرب × 4 نحصل على:
4 ص = –3 ( س – 3)
3 س + 4 ص – 9 = 0
حزمة المعادلات المارة بالنقطة ( 3 ، 0) هي:ـ
ص – 0 = م ( س – 3) وبالتعويض عنها في معادلة الدائرة (س + 2)2 + ص2 = 9 أي: س2 + ص2 + 4 س – 5 = 0
س2 + [م ( س – 3)]2 + 4 س – 5 = 0
س2 + م2 س2 – 6م س + 9م2 + 4 س – 5 = 0
( 1 + م2) س2 + ( 4 – 6م) س + 9م2 – 5 = 0 ، أ = 1 + م2 ، ب = 4 – 6م ، حـ = 9م2 – 5
المميز ب2– 4 أ حـ = 0
( 4 – 6م)2 – 4 ( 1 + م2) ( 9م2 – 5) = 0
16 – 48 م2 + 36 م4 – 36 م2 + 20 – 36 م4 + 20 م2 = 0
36 – 64 م2 = 0
9 – 16 م2 = 0
م = ± (3 ÷ 4)
المعادلات المطلوبة هي:
3
ص = ± ـــــ ( س – 3) ومنها
4
3 س – 4 ص – 9 = 0
3 س + 4 ص – 9 = 0
وبرسم المستقيم نجده يمر بالربع الأول والثاني والرابع وذلك بوضع س = 0 في معادلة المستقيم فنجد ص = 5 ÷ 2 ، وبوضع ص = 0 نجد أن س = 5 ÷ 3 فالمستقيم يقطع المحورين الموجبين كما مبين بالرسم
أو وضع المستقيم على الصورة:
س ص
ـــــــ + ــــــــ = 1 حيث ب ، د الجزأين المقطوعين من محوري الإحداثيات
د ب
2س + 3ص = 5 بالقسمة على 5 ووضع 2 ، 3 في المقام
س ص
ـــــــ + ــــــــ = 1 حيث ب ، د الجزأين المقطوعين من محوري الإحداثيات
5 5
ـــ ـــ
2 3
5 5
أي أن المستقيم يمر بالنقطتين (ــــ ، 0)، (0، ـــ )
2 3
أي أن الدائرة لا تقع في الربع الثالث فيلزم التحقق من الأرباع 1، 2 , 4 ويكمل الحل كما سبق