مثال(2)
شكل رباعي إحداثيات رءوسه هي (1 ، 2) ، ( –2 ، 3) ، ( 2 ، 5) ، ( –1، 6) أثبت أنه يمكن أن يمر برءوس هذا الشكل محيط دائرة واحدة وعين مركزها وطول نصف قطرها.
الحـــل
بفرض أن معادلة الدائرة هي: س2 + ص2 + 2 ل س + 2 ك ص + حـ = 0 هي الدائرة المطلوبة فإن:
(1 ، 2) تحقق المعادلة: 1 + 4+ 2 ل × 1 + 2 ك × 2 + حـ = 0
5 + 2 ل + 4 ك + حـ = 0 .............. (1)
( –2 ، 3) تحقق المعادلة: 4 + 9 + 2 ل × –2 + 2 ك × 3 + حـ = 0
13 – 4 ل + 6 ك + حـ = 0 .............. (2)
( 2 ، 5) تحقق المعادلة: 4 + 25 + 2 ل × 2 + 2 ك × 5 + حـ = 0
29 + 4 ل + 10 ك + حـ = 0 .............. (3)
بحل المعادلات الثلاثة أعلاه بأي طريقة (الجبرية ، المحددات) للحصول على ل ، ك ، حـ
من (1) ، (2) والطرح للحصول على معادلة في ل ، ك : 8 – 6 ل + 2 ك = 0 وبالقسمة على 2 نحصل على
4 –3 ل + ك = 0 ............. (4)
من (3) ، (2) والطرح للحصول على معادلة في ل ، ك : 16 – 8 ل + 4 ك = 0 وبالقسمة على 4 نحصل على
4 –2 ل + ك = 0 ............. (5)
من (4) ، (5) والطرح للحصول على معادلة في ل : 0 – ل + 0 = 0
ل = 0 ............. (6)
بالتعويض في (4) : 4 – 0 + ك = 0
ك = – 4 ............ (7)
بالتعويض في (1) : 5 + 2 × 0 + 4 × – 4 + حـ = 0
حـ = 11
بالتعويض في المعادلة العامة للدائرة
س2 + ص2 + 2 × 0 × س + 2 × – 4 × ص + 11 = 0
س2 + ص2 – 8 ص + 11 = 0 وهي المعادلة المطلوبة
د(–1، 6) هل تحقق هذه المعادلة:
الطرف الأيمن = 1 + 36 – 8 × 6 + 11= 37 – 48 + 11= صفر
إذن د تقع على محيط الدائرة وعليه يمكن أن تمر برءوس الشكل الرباعي دائرة وهو المطلوب أولاً
المركز = ( – ل ، – ك) = ( 0 ، 4) ، نق2 = ل2 + ك2 – حـ = 0 + 16 – 11 = 5
ــــــ
نصف القطر = /\ 5 وهو المطلوب ثانياً
حل آخــر
نفرض أن: أ(1 ، 2) ، ب( –2 ، 3) ، حـ (–1، 6) ، د ( 2 ، 5)
نوجد ميل أ ب ، ميل أ د للتأكد من كون حاصل ضربهم = – 1 وبالتالي يكون المثلث أ ب د قائم وتره ب د وتمر برءوسه محيط دائرة يكون
قطرها ب د ومركزها منتصف ب د حيث أن الميل لمستقيم مار بنقطتين = فرق الصادات ÷ فرق السينات
ميل أ ب = (3 – 2) ÷ ( –2 – 1) = 1 ÷ (–3) = –1÷3
ميل أ د = (5 – 2) ÷ (2 – 1) = 3 ÷ 1 = 3
ميل أب × ميل أ د = –1 فإن أ ب عمودي على أ د أي ق< أ = 90ه وعليه المثلث أ ب د قائم فإن هناك دائرة تمر برءوسه
2 – 2 5 + 3
مركز الدائرة م هو منتصف ب د = ( ــــــــــــ ، ــــــــــــــ) = ( 0 ، 4) أي ل = 0 ، ك = –4 ،
2 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ ـــــ
نصف القطر = البعد م أ = /\ (4 –2)2 + ( 0 – 1)2 = /\ 4 + 1 = /\ 5
حـ = ل2 + ك2 – نق2 = 0 + 16 – 5 = 11
المعادلة هي : س2 + ص2 + 2 × 0 × س + 2 × –4 × ص + 11 = 0
س2 + ص2 –8 ص + 11 = 0
للتحقق من أن النقطة الرابعة تقع على محيط الدائرة نعوض عنها في المعادلة : حـ (–1، 6)
الطرف الأيمن = 1 + 36 – 8 × 6 + 11= 37 – 48 + 11= صفر فالنقطة حـ تقع على محيط الدائرة
ـــــ
إذن النقاط الأربع تقع على محيط دائرة واحدة التي مركزها ( 0 ، 4) ونصف قطرها /\ 5
حــل ثالث
لاحظ بعد أن عرفنا أن المثلث أ ب د قائم فهذا يعني ب د قطر للدائرة المارة برءوسه وعليه تكون معادلة الدائرة
( س– س1)( س – س2) + ( ص– ص1)( ص – ص2) = 0 حيث طرفا القطر هما ب( –2 ، 3) ، د ( 2 ، 5)
( س +2)( س –2) + ( ص – 3)( ص – 5) = 0
س2–4 + ص2 – 8 ص + 15 = 0
س2+ ص2 – 8 ص + 11 = 0
مركزها ( 0 ÷ –2 ، – 8 ÷ –2) = ( 0 ، 4)
نق2= 0 + 16 – 11 = 5
ــــــ
نق = /\ 5
والنقطة ( 2 ، 1 ) تقع على محيطها لأن: الطرف الأيمن = 1 + 36 – 8 × 6 + 11= 37 – 48 + 11= صفر
حــل رابــع
من هندسة الشكل:
بفرض الدائرة بالصورة العامة تمر بالنقط أ ، ب ، د
هـ منتصف أ ب ، هـ م عمودي على أ ب ، ن منتصف أ د ، ن م عمودي على أ د
فتكون م مركز الدائرة المطلوبة
1 – 2 2 + 3
هـ = ( ــــــــــــ ، ـــــــــــــ) = (– 0.5 ، 2.5 )
2 2
ميل أ ب = ( 3 – 2) ÷ ( –2 – 1) = –1÷3
ميل هـ م = 3 حاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين = – 1
معادلة هـ م هي:
ص – 2.5 = 3 ( س + 0.5)
ص – 2.5 = 3 س + 1.5 بالضرب × 2
3 س + ص – 4 = 0 ............ (1) وبالمثل يكون:
1 + 2 2 + 5
ن = ( ــــــــــــ ، ـــــــــــــ) = ( 1.5 ، 3.5 )
2 2
ميل أ د = ( 5 – 2) ÷ ( 2 – 1) = 3 ÷ 1 = 3
ميل ن م = –1÷3 حاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين = – 1
معادلة ن م هي:
ص – 3.5 = (–1÷3) ( س – 1.5) بالضرب × 3
3ص – 10.5 = – س + 1.5
س + 3 ص – 12 = 0 ............ (2) وبالمثل يكون:
من (1) ص = 4 –3س ............ (3)
من (3) في (2) : س + 12 – 9 س – 12 = 0 ومنها س = 0 وفي (3) نجد أن ص = 4 – صفر = 4
إذن مركز الدائرة م = ( 0 ، 4 ) ، نق = أ م حيث ( أ م )2 = ( 1 – 0)2 + ( 2 – 4)2 = 1 + 4 = 5
ـــــ
نق = /\ 5
معادلة الدائرة هي:
(س – 0)2 + ( ص – 4)2 = 5
س2 + ص2 – 8 ص + 11 = 0
ويمكن التحقق من أن النقطة د ( – 1 ، 6 ) تقع على محيط الدائرة
الطرف الأيمن = 1 + 36 – 8 × 6 + 11= 37 – 48 + 11= صفر