علاقة الدائرة بأخرى 

للدائرتين خمسة أوضاع:

    1) الدائرتان متماستان من الخارج ( نقطة تماس )

    2) الدائرتان متماستان من الداخل ( نقطة تماس )

    3) الدائرتان متقاطعتان  ( نقطتان )

    4) متباعدتان ( لا نقط تقاطع )

    5) إحداها بالكامل داخل الأخرى

بفرض الدائرة الأولي:  س² + ص² + 2 ل₁ س + 2 ك₁ ص + حـ₁ = 0    مركزها  م₁( – ل₁ ، – ك₁)  ، نصف قطرها نق₁

بفرض الدائرة الثانية:  س² +  ص² + 2 ل₂ س + 2 ك₂ ص + حـ₂ = 0    مركزها م₂( – ل₂ ، – ك₂)  ، نصف قطرها نق₂

نوجد كل من البعد م₁ م₂ ، نق₁ ، نق₂ حيث نعلم أن:  نق²= ل²+ ك²– حـ  ، ( م₁ م₂)² = ( ل₁ – ل₂)² + ( ك₁ – ك₂)²

(1) م₁ م₂ =  نق₁ +  نق₂  فالدائرتان متماستان من الخارج

(2) م₁ م₂ =  نق₁ –  نق₂  فالدائرتان متماستان من الداخل  حيث نق₁ >  نق₂

(3) م₁ م₂ >  نق₁ +  نق₂  فالدائرتان متباعدتان

(4) م₁ م₂ <  نق₁ –  نق₂  فالدائرتان متداخلتين ( أحداها داخل الأخرى )  وإذا م₁ م₂ = 0 فالدائرتان منطبقتان

(5) [ م₁ م₂ <  نق₁ +  نق₂  ،  م₁ م₂ >  نق₁ –  نق₂]  فالدائرتان متقاطعتان  - يجب تحقق كلاهما -

توضيح: بفرض نصفا القطرين هما 14 ، 6  فالمجموع نق₁ +  نق₂ = 20 والفرق نق₁ –  نق₂ = 8 فإذا كان:

م₁ م₂ = 21 > نق₁ +  نق₂  فالدائرتان متباعدتان

م₁ م₂ = 20 = نق₁ +  نق₂  فالدائرتان متماستان من الخارج

م₁ م₂ = 8 =  نق₁ –  نق₂  فالدائرة الصغرى تقع داخل الكبرى ومتماستان من الداخل

8 < م₁ م₂ < 14 فالدائرتان متقاطعتان

نقطة التماس ومعادلة المماس والوتر المشترك لدائرتين

* تتعين نقطة التماس لدائرتين بمعرفة أنصاف الأقطار والمركزين من قانون التقسيم من الداخل أو الخارج أو بحل معادلتي الدائرتين

   إذا كان معامل س² = معامل ص²  فبطرح المعادلتين نحصل على معادلة من الدرجة الأولى تكون:

* معادلة المماس المشترك إذا كانت الدائرتان متماستان سواء من الداخل أول الخارج وبحل هذه المعادلة مع إحدى الدائرتين نحصل

   على نقطة التماس

* معادلة الوتر المشترك إذا كانت الدائرتان متقاطعتان وبحل هذه المعادلة مع إحدى الدائرتين نحصل على نقطتي التقاطع ويمكن

   حساب طول الوتر المشترك من قانون البعد بين نقطتين

* المعادلة العامة لمجموعة الدوائر التي تمر بنقطة تقاطع الدائرتين:

    س² + ص² + 2 ل₁ س + 2 ك₁ ص + حـ₁ = 0

    س² + ص² + 2 ل₂ س + 2 ك₂ ص + حـ₂ = 0    هي:

    س² + ص² + 2 ل₁ س + 2 ك₁ ص + حـ₁ + ن( س² + ص² + 2 ل₂ س + 2 ك₂ ص + حـ₂) = 0        حيث م ≠ –1

تعيين الدائرة

• نعلم أن المعادلة العامة للدائرة تشتمل على ثلاثة مجاهيل ثوابت وهي: ل ، ك ، حـ  

• الصورة العامة لمعادلة الدائرة مركزها (– ل ، – ك) ، حـ = ل² + ك²– نق²

• بوجود ثلاثة شروط يمكن معرفة المعادلة كمرورها بثلاثة نقط أو نقطتين ومركزها يقع على المستقيم أ س + ب ص + حـ = 0

• أي ثلاثة شروط أخرى.

• يمكن التحقق من نقطة ما بوقوعها على محيط دائرة بالتعويض بإحداثيتي النقطة في طرف المعادلة الأيمن ليكون الناتج صفراً

• وقوع المركز على محور الصادات يعني ل = 0 وهو أحد الشروط الثلاثة

• وقوع المركز على محور السينات يعني ك = 0 وهو أحد الشروط الثلاثة

• مرور محيط الدائرة بنقطة الأصـل يعني حـ = 0 وهو أحد الشروط الثلاثة

• الدائرة تمس محور السينات يعني نق = الإحداثي الصادي للمركز عددياً و ل²= حـ

• الدائرة تمس محور الصادات يعني نق = الإحداثي السيني للمركز عددياً و ك²= حـ

• الدائرة التي طرفا قطر فيها معلومين يكون مركزها منتصف المسافة بينهم و نق = نصف البعد بينهم

المعادلة العامة لمجموعة الدوائر المارة بنقطتي تقاطع دائرتين

بفرض الدائرة الأولي:  س² + ص² + 2 ل₁ س + 2 ك₁ ص + حـ = 0    مركزها  م₁( – ل₁ ، – ك₁)  ، نصف قطرها نق₁

بفرض الدائرة الثانية:  س² +  ص² + 2 ل₂ س + 2 ك₂ ص + حـ = 0    مركزها م₂( – ل₂ ، – ك₂)  ، نصف قطرها نق₂

المعادلة العامة لمجموعة الدوائر المارة بنقطتي التقاطع هي:

س² + ص² + 2 ل₁ س + 2 ك₁ ص + حـ + ن (  س² +  ص² + 2 ل₂ س + 2 ك₂ ص + حـ ) = 0 حيث ن عدد ثابت

مثال ذلك:

أوجد معادلة الدائرة التي يمر بالنقطة (1 ، 2) وبنقطتي تقاطع الدائرتين

                 س² + ص² – 3 س – 4 ص = 0  ،   س² + ص² – 2 س + 3 ص – 6 = 0   

الحــل:

المعادلة المطلوبة هي:

    س² + ص² – 3 س – 4 ص + ن ( س² + ص² – 2 س + 3 ص – 6 ) = 0

(1, 2) تحقق المعادلة:  1+ 4 – 3 – 8 + ن ( 1 + 4 – 2 + 6 – 6 ) = 0

                                – 6 + 3 ن = 0

                                ن = 2

المعادلة هي:   س² + ص² – 3 س – 4 ص + 2 ( س² + ص² – 2 س + 3 ص – 6 ) = 0

                    س² + ص² – 3 س – 4 ص + 2 س² + 2 ص² – 4 س + 6 ص – 12= 0

                    3 س² + 3 ص² – 7 س + 2 ص – 12 = 0

ملاحظة:

    بطرح المعادلتين نحصل على معادلة الوتر المشترك وبحلها مع إحدى معادلتي الدائرتين نحصل على نقطتي التقاطع ومنهم ومع النقطة

 (1 ، 2) نوجد معادلة الدائرة المارة بالنقط الثلاثة بالطرق المعروفة ولكن يبقى الحل السابق أفضل وأسرع.